Из семьи военного врача. Окончил начальную школу в г. Владимир и Киевский кадетский корпус с отличием (1896). Учился в Николаевском инженерном училище в СПб., не окончил, затем поступил и окончил физико-математический факультет Университета св. Владимира в Киеве с золотой медалью (1903). Оставлен для подготовки к профессорскому званию по кафедре теоретической механики. Ассистент (1903—07), приват-доцент (1907—14) по кафедре аналитической механики Университета св. Владимира в Киеве. Магистр (1912), дисс. «Уравнения движения для консервативных систем». Доктор (1915), дисс. «Соприкасательные движения твердого тела». Ординарный профессор по кафедре прикладной математики (с 1915), первый избранный ректор Новороссийского университета в Одессе (1917-1919). Эвакуирован из Одессы, в эмиграции в КСХС с января 1920. Казначей Общества русских ученых в Белграде. С апреля 1920 ординарный профессор рациональной механики по контракту, с ноября 1926 — штатный ординарный профессор прикладной математики Белградского университета. Преподаватель математики 1-й русско-сербской гимназии (1929—36). Член Русской академической группы, один из инициаторов создания Русского научного института в Белграде. Член-корреспондент (1926), действительный член Сербской академии наук и искусств (1936, САНИ). Секретарь Отделения естественно-математических наук САНИ (1939—40). Во время Второй мировой войны из-за нежелания работать на немцев и при немцах вышел в отставку. После войны создал Математический институт САНИ (1946). Основатель белградской школы механики. Участвовал в многотомном издании «Трудов Математического института Сербской Академии наук». С февраля 1955 на пенсии. Один из основателей, с 1964 почетный председатель Югославского общества механиков. Вместе с югославским академиком М. Миланковичем занимался теорией смещения земных полюсов. В межвоенный период опубликовал более 80 работ по механике, геометрии и высшей математике.

Похоронен на Новом кладбище в Белграде.

Брат: Александр (1876—1963), экономист, профессор. Жена: Елена Андреевна (ур. Киселева; 1878—1974), художница. Сын: Арсений (1918—1944).

Библ.: Материалы для библиографии русских научных трудов за рубежом (1920—1930) / Под ред. Е.В. Спекторского. Т. 1. Белград, 1931. № 44. С. 35—36; То же. Т. 2. Белград, 1941.

№ 35. С. 54—57.

Соч.: Средняя кривизна минимальных поверхностей. Киев, 1904; Геометрические дифференциалы в теории поверхностей. Киев, 1905; Уравнения движения для консервативных систем с линейными интегралами. Киев, 1910; Уравнения движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Киев, 1911; К вопросу об основах механики. М., 1916; Геометриjске основе рачуна са диадама. Београд, 1930.

Лит.: Ковалевский П.Е. Наши достижения. Роль русской эмиграции в мировой науке. Вып. 1. Мюнхен, 1960. С. 27; Споменица посвенена преминулом академику Антони Билимовичу // Српска академиjа наука и уметности. Посебна издана. Кн. 446, Споменьица. Кн. 52. Београд, 1971; Ковалевский П.Е. Зарубежная Россия: История и культурно-просветительная работа русского зарубежья за полвека (1920—1970). Париж, 1971. С. 152; История механики в России. К., 1987; Русское зарубежье. Золотая книга эмиграции. Первая треть ХХ века: Энциклопедический биографический словарь. М., 1997. С. 88—90 (авт. Н. Ермолаева); Оссовский Е.Г. Деятели общественно-педагогического движения и педагоги российского зарубежья. 150 биографий. Саранск, 1997. С. 18-19; Сухарев Ю.Н. Материалы к истории русского научного зарубежья. Кн.1. М., 2002. С. 52—53; Леко М.Д. Сепанье на стваралаштво професора Антона Билимовича // Руска емиграциjа у српскоj култури XX века. Т. 1. Београд, 1994. С. 261—264; Професори Одеського (Новоросійського) університету: біогр. слов. Одеса, 2005. Т. 1: Ректори. С. 66-69; Ермолаева Н.С. Русское математическое зарубежье (первая волна) // Природа. 1994. № 11. С. 81; Российское научное зарубежье: биобиблиографический справочник / Ред.-сост. М.Ю. Сорокина. М., 2011; Матич О. Записки русской американки: семейные хроники и случайные встречи. М., 2017.