Из дворянской семьи. Окончил частную гимназию В.К. Иванова (с 1907), физико-математический факультет Петербургского университета (1914—25, с перерывами). Основатель кружка для «изучения Вагнера с исторической, философской, литературной и музыкальной стороны» вместе с ленинградским архитектором А.М. Нечаевым. Сотрудник Физико-математического института Российской академии наук. В 1927 опубликовал первую научную работу (на французском языке). Создал новую теорию функций матричного переменного. В апреле 1929 защитил диссертацию. Рокфеллеровский стипендиат, приглашен на стажировку в Гиссенский университет (Германия). 29 сентября 1930 с семьей выехал в Гиссен. 1 февраля 1931 заочно избран членом-корреспондентом АН СССР по представлению академиков И.М. Виноградова, Н.Н. Лузина, А.Н. Крылова.

Скончался и похоронен в Гиссене на городском кладбище.

Дед: Сергей Александрович, верхнеднепровский предводитель дворянства, Таврический вице-губернатор. Бабушка: Надежда Федоровна (ур. Чуйкевич). Отец: Александр Сергеевич (1863—1919), историк, философ, академик. Дядя: Сергей Сергеевич (1868—1957), математик, композитор, пианист. Брат: Александр (1898—1920), художник, ученик К.С. Петрова-Водкина. Жена: Ольга Алексеевна (ур. Петровская, 1898—1975), археолог, ботаник, художник. Дочь: Ирина.

Соч.: Mémoires sur la théorie des systèmes des équations différentielles linéaires. Vol. 1—3,. М.; Л., 1934—36; Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957; И.А. Лаппо-Данилевский — А.М. Нечаеву / Публ. М.Ю. Сорокиной и М.И. Кратко // Нариси з iсторii природознавства i технiки. Вып.41. Киев, 1994.

Лит.: Мельников И.Г. Выдающийся математик И.А. Лаппо-Данилевский // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1975. Вып. 4 (53); Сорокина М.Ю. Русский Моцарт // Природа. 2002. № 1. С. 91—95.