Родился в семье врача, немца по национальности. Окончил 1-ю Петербургскую гимназию с золотой медалью (1881), историко-филологический факультет Петербургского университета (1885). Оставлен для подготовки к профессорскому званию. В течение двух с половиной лет стажировался за границей (Германия, Швейцария, Франция, Великобритания). С 1888 лектор немецкого языка и приват-доцент, а после защиты магистерской диссертации по истории западноевропейской литературы (1900) — экстраординарный, с 1907 ординарный, с 1913 заслуженный ординарный профессор кафедры истории западноевропейской литературы (романо-германской филологии) Петербургского / Петроградского университета. С 1900 ученый секретарь, затем декан историко-филологического факультета (1908—10, 1912—20) и проректор Петербургского университета (1906—08). Преподавал также историю всеобщей литературы на Высших женских (Бестужевских) курсах. С 1918 ректор Педагогического института (бывшего Петербургского историко-филологического). Действительный член Русского археологического общества (1892). С 1906 председатель Неофилологического общества при Петербургском университете. С 1919 член Совета и председатель Комиссии по исторической географии Российской академии истории материальной культуры. В марте 1920 уехал в заграничную командировку в Германию; в Россию не вернулся. Читал курс лекций по германским древностям на философском факультете Лейпцигского университета с 20 ноября 1920. Почетный профессор (1922—27), с 1927 экстраординарный, с 1930 ординарный профессор кафедры истории Восточной Европы; с 1926 содиректор Института Восточной Европы Лейпцигского университета. Иностранный член-корреспондент Шведской академии наук (1920). 15 января 1927 по представлению академиков С.Ф. Платонова, И.Ю. Крачковского и С.Ф. Ольденбурга избран членом-корреспондентом АН СССР по разряду исторических наук (история, германская филология) Отделения исторических наук и филологии. В 1920-30-е работал в области антропологии, этнологии и доисторической археологии, готовил к изданию большое исследование о древнейшей географической номенклатуре Европы.

Похоронен в Лейпциге на Южном кладбище.

Мать: Августа Ковицкая (Kawizki). Сын Максимилиан (1903—1984), профессор славянской филологии в университете Геттингена.

Библ.: Archiv für Kulturgeschichte. Lpz.; B., 1932. Bd. XXIII/2. S. 139—140; Материалы для библиографии русских научных трудов за рубежом (1920—1940) / Под ред. Е.В. Спекторского. Т. 1. Белград, 1931. № 55. С. 45.

Соч.: Die letzten Schicksale der Krimgoten. SPb., 1890; Разыскания в области гото-славянских отношений. Т. 1. СПб., 1898; Russland und die Deutschen in alter Zeit // Germanica: Festschrift für E. Sievers. Halle, 1925. S. 677—727; Ueber die russische «Intelligenz» // Kultur und Universalgeschichte. Lpz., 1927. S. 362—727.

Лит.: Свердлов М.Б. Ф.А. Браун — исследователь скандинавских источников по истории Древней Руси // Скандинавский сборник. Таллин, 1976. Вып. 21. С. 221—225; Пашуто В.Т. Русские историки эмигранты в Европе. М., 1992. С. 120; Струве Г. Русская литература в изгнании: Краткий биографический словарь русского зарубежья. Париж; М., 1996. С. 289—290; Российская академия наук: Персональный состав. Кн. 2: 1918—1973. М., 1999. С. 364; Тункина И.В. Н.Я. Марр и Ф.А. Браун: История взаимоотношений (1920—1925 гг.) // Stratum plus. 2000. № 4; Жеребин А.И. У истоков русской германистики (профессор Ф.А. Браун) // Немцы в России: русско-немецкие научные и культурные связи. СПб., 2000. С. 14—21; Festschrift Friedrich Braun z. 70. Geburtstag // Archiv für Kulturgeschichte. Bd. 23, 1932, N 2, S. 139 f; Sorokina M. Das Russische wissenschaftliche Ausland – biobibliographisches Lexikon und russische wissenschaftlier deutscher Abstammung // Pfrepper R. (Hgg.) Medizin-, Pharmazie- und Wissenschaftsgeschichte vom Mittelalter bis zur Gegenwart: Festschrift für Ingrid Kaestner zum 65. Geburstag. Aachen: Shaker Verlag, 2007. S. 309.

Некр.: Незабытые могилы. Российское зарубежье: Некрологи 1917—1997: В 6 т. / Сост. В.Н. Чуваков. М., 1999. Т. 1. С. 404.