Из потомственных дворян Полтавской губернии. Окончил 1-ю полтавскую гимназию (1908); медицинский факультет Университета Св. Владимира в Киеве (1915). Однокурсник писателя М.А. Булгакова. Служил врачом в 266 Пореченском пехотном полку, затем в Киевском военном госпитале (до 1926). С 1920 приват-доцент Киевского университета, затем - мединститута. Защитил кандидатскую и докторскую диссертации. С 1921 – и. о. зав. кафедрой рентгенологии Киевского мединститута. В марте 1926 избран зав. кафедрой рентгенологии, профессор. Стажировался за границей. Участвовал во II, V и VI Всесоюзных съездах рентгенологов. Первым применил рентгенологические методы при диагностике и исследовании рака молочной железы (маммография). Во время оккупации Киева в 1941-1943 занимался частной практикой, после возобновления деятельности мединститута преподавал рентгенологию. Осенью 1943 эвакуирован немецкими властями вместе со многими преподавателями и студентами мединститута сначала в Польшу, потом в Германию. После окончания II-й Мировой войны участвовал в создании медицинского факультета Украинского свободного университета в Мюнхене. В 1947 году переехал в США. Гражданин США с 1954. Член Русской академической группы. Опубликовал более 150 работ по рентгенологии и медицине.

Похоронен на кладбище Ново-Дивеевского
Успенского православного женского монастыря, шт. Нью-Йорк, США.

Отец: Иаков Павлович Богаевский, протоиерей. Мать: Ольга Ивановна. Сестра: Елена. Жена: Анастасия Владимировна (ур. Пушешникова, 1896-1959), Сын: Алексей (1917—1993), инженер, преподаватель, жил в Киеве (Украина, СССР). Вторая жена – Ольга Григорьевна (1898-1953)

Фотографии А.Я. Богаевского любезно предоставлены В.А. Богаевским

Соч.: Медичний порадник: Довідник з клінічної медицини для лікарів. К., 1929 (совм. с М. Губергрицем, В. Василенко, М. Левицким).

Лит.: Александров Е.А. Русские в Северной Америке: Биографический словарь. Хэмден, Сан-Франциско, СПб., 2005. С. 63; Ульянкина Т.И. «Дикая историческая полоса»: Иммиграция русских ученых в США из послевоенной Европы // Русский Берлин. 1920-1945. М., 2006. С. 442, 458.